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Oct 11, 2023

Uno studente universitario ha appena risolto un problema di matematica notoriamente impossibile

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Un matematico potrebbe aver appena dimostrato che l’impossibile è possibile.

Per 30 anni, i matematici si sono chiesti se fosse possibile avere un insieme infinito di numeri in cui ogni coppia di numeri si sommasse a un valore unico e che ciascuno di questi valori fosse abbastanza grande.

A marzo, uno studente laureato dell’Università di Oxford ha finalmente risolto il problema ricorrendo a una soluzione improbabile: la geometria.

Nel 1993, il matematico ungherese Paul Erdős, uno dei matematici più prolifici del XX secolo, pose una domanda con due componenti apparentemente in contrasto tra loro: un insieme di Sidone potrebbe essere una "base asintotica di ordine tre?"

Spieghiamo.

Questi insiemi, che prendono il nome da un altro matematico ungherese, Simon Sidon, sono fondamentalmente una raccolta di numeri in cui non esistono due numeri nell'insieme sommati allo stesso numero intero. Ad esempio, nel semplice insieme di Sidone (1, 3, 5, 11), quando uno qualsiasi dei due numeri dell'insieme viene sommato, equivale a un numero univoco. Costruire un set Sidone con soli quattro numeri è estremamente semplice, ma man mano che il set aumenta di dimensioni, diventa sempre più difficile. Non appena due somme sono uguali, la raccolta di numeri non è più considerata un insieme di Sidone.

Il secondo elemento del problema di Erdős—quella parte che suona spaventosa della “base asintotica di ordine tre”—significa che:

un insieme deve essere infinitamente grande

qualsiasi numero intero sufficientemente grande può essere scritto come il risultato della somma di al massimo 3 numeri nell'insieme.

Quindi, questo enigma vecchio di 30 anni era incentrato sulla possibilità o meno di questi due elementi di esistere nello stesso insieme di numeri. Per decenni la risposta sembrò essere no.

Ma nel marzo di quest’anno, lo studente laureato di Oxford Cédric Pilatte ha pubblicato una prova che conferma l’esistenza di un simile set di Sidone. Raggiungere quel traguardo non è stato facile. Nel 2010, i matematici hanno dimostrato che un insieme di Sidone può essere una base asintotica di ordine 5 e tre anni dopo hanno dimostrato che è anche possibile che un insieme di Sidone "sia una base asintotica di ordine 4". Ma l’“ordine 3” rimaneva sfuggente: alcuni lo consideravano teoricamente possibile ma incredibilmente difficile (e potenzialmente impossibile) da dimostrare.

"Stanno tirando in direzioni opposte", ha detto Pilatte a Quanta Magazine. "Gli insiemi di Sidone sono vincolati a essere piccoli, e una base asintotica è vincolata a essere grande. Non era ovvio che potesse funzionare."

Allora come ha fatto Pilatte a ottenere un piolo matematicamente quadrato per adattarsi a un foro apparentemente rotondo? Adottò un approccio non convenzionale e si rivolse alla geometria piuttosto che al metodo probabilistico sostenuto da Erdős e alla cosiddetta teoria dei numeri additiva. Pilatte sostituì i numeri con i polinomi e si avvalse del recente lavoro dei matematici della Columbia University. Combinando queste idee, Pilatte creò con successo un insieme di Sidone abbastanza denso e abbastanza casuale da risolvere finalmente il problema originale di Erdős.

Il lavoro di Pilatte si basava sulle scoperte di molti matematici di diverse discipline e combinava persino campi della matematica apparentemente non correlati per rispondere alla domanda. "È bello che queste tecniche molto profonde della geometria algebrica possano essere utilizzate anche per questa domanda semplice e concreta sugli insiemi di numeri", ha detto Pilatte a Quanta Magazine.

E con ciò, un'altra domanda di matematica "impossibile" si rivela assolutamente possibile.

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